Tu as deux inconnues, deux équations, et tu ne sais pas par où commencer ? Pas de panique : résoudre un système d'équations est une compétence qui s'apprend avec une méthode claire. Dans cet article, on t'explique tout pas à pas : ce qu'est un système, comment le résoudre par substitution ou par combinaison, et comment vérifier ta solution. À la fin, tu sauras affronter n'importe quel système de deux équations à deux inconnues.
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations, c'est un ensemble de plusieurs équations qui doivent être vraies en même temps. Par exemple :
2x + y = 7
x - y = 2
Ici, on cherche un couple de nombres (x ; y) qui vérifie les deux équations simultanément. La solution d'un système est donc un couple (x ; y), et non un seul nombre.
Au collège (3e) et au lycée (2nde), tu étudies principalement des systèmes de deux équations à deux inconnues, souvent notés :
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
où a, b, c, d, e, f sont des nombres connus, et x, y les inconnues.
Résoudre un système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui satisfont les deux équations. Il peut y avoir une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions. Dans la majorité des exercices, il y a une solution unique.
La méthode pas à pas pour résoudre un système
Il existe deux grandes méthodes : la substitution et la combinaison (aussi appelée élimination). Choisis celle qui te semble la plus simple selon les coefficients.
Méthode 1 : la substitution
Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à remplacer dans la seconde équation.
Étapes :
- Choisis une équation et isole une inconnue (par exemple, exprime y en fonction de x).
- Remplace cette expression dans l'autre équation : tu obtiens une équation à une seule inconnue.
- Résous cette équation pour trouver la valeur d'une inconnue.
- Remplace cette valeur dans l'expression trouvée à l'étape 1 pour trouver l'autre inconnue.
- Vérifie que le couple trouvé satisfait bien les deux équations de départ.
Méthode 2 : la combinaison (ou élimination)
Elle consiste à additionner ou soustraire les deux équations (éventuellement après multiplication) pour éliminer une inconnue.
Étapes :
- Multiplie l'une ou les deux équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés.
- Additionne les deux équations membre à membre : une inconnue disparaît.
- Résous l'équation obtenue à une inconnue.
- Remplace la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue.
- Vérifie le couple solution.
Pour t'entraîner sur ces méthodes, tu peux consulter nos fiches méthodes et nos exercices corrigés.
Exemple résolu entièrement : système 2x + y = 7 et x - y = 2
Résolvons le système :
{ 2x + y = 7 (1)
{ x - y = 2 (2)
Méthode par substitution :
Étape 1 : On isole y dans l'équation (2).
x - y = 2 => -y = 2 - x => y = x - 2.
Étape 2 : On remplace y par x - 2 dans l'équation (1).
2x + (x - 2) = 7
2x + x - 2 = 7
3x - 2 = 7
3x = 9
x = 3.
Étape 3 : On remplace x par 3 dans y = x - 2.
y = 3 - 2 = 1.
Le couple solution est (3 ; 1).
Vérification :
Dans (1) : 2×3 + 1 = 6 + 1 = 7. Correct.
Dans (2) : 3 - 1 = 2. Correct.
Méthode par combinaison :
On additionne membre à membre (1) et (2) :
(2x + y) + (x - y) = 7 + 2
3x = 9
x = 3.
Puis on remplace x par 3 dans (2) : 3 - y = 2 => y = 1.
On retrouve bien (3 ; 1).
Tu peux retrouver d'autres exemples détaillés sur la page types d'équations.
Erreurs fréquentes et conseils de méthode
Voici les pièges classiques à éviter :
- Oublier de distribuer le signe moins : quand tu remplaces y par une expression, pense à mettre des parenthèses.
- Ne pas vérifier la solution : c'est l'étape la plus importante pour être sûr de toi.
- Confondre x et y dans le couple solution : écris toujours (x ; y) dans l'ordre.
- Mal choisir la méthode : si une inconnue a déjà un coefficient 1 ou -1, la substitution est souvent plus rapide. Sinon, la combinaison est efficace.
- Oublier de multiplier toute l'équation par le même nombre dans la méthode par combinaison.
Pour réviser efficacement, entraîne-toi régulièrement avec des exercices progressifs. Au brevet, les systèmes d'équations sont souvent mêlés à des problèmes concrets : pense à bien traduire l'énoncé en équations. Pour aller plus loin, consulte aussi AlloBrevet.
Conclusion : à toi de jouer !
Résoudre un système d'équations, c'est avant tout appliquer une méthode avec rigueur. Que tu choisisses la substitution ou la combinaison, l'essentiel est de poser calmement les étapes et de vérifier ta solution. Avec un peu de pratique, cela deviendra un réflexe. N'hésite pas à revoir les bases sur les types d'équations et à t'entraîner sur nos exercices. Tu vas y arriver !