Qu'est-ce que la méthode par substitution ?
La méthode par substitution est une technique pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues (souvent notées x et y). Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis à remplacer (substituer) cette expression dans l'autre équation. Cela permet de se ramener à une seule équation à une inconnue, que tu sais résoudre.
Cette méthode est particulièrement utile quand une des inconnues a déjà un coefficient 1 ou -1, car elle évite les calculs compliqués. Mais elle fonctionne dans tous les cas, à condition d'être méthodique.
Étapes de la résolution par substitution
Voici les étapes à suivre pour résoudre un système par substitution :
- Étape 1 : Choisis une équation et isole une inconnue (par exemple, x = ... ou y = ...). Si possible, choisis celle où l'inconnue a un coefficient simple.
- Étape 2 : Remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
- Étape 3 : Résous l'équation obtenue (qui ne contient plus qu'une inconnue).
- Étape 4 : Remplace la valeur trouvée dans l'expression de l'étape 1 pour trouver la deuxième inconnue.
- Étape 5 : Vérifie les solutions dans les deux équations de départ.
Exemple résolu pas à pas
Prenons le système suivant :
(1) 2x + y = 7
(2) 3x - 2y = 14
Étape 1 : Isoler une inconnue
Dans l'équation (1), y a un coefficient 1. Isolons y : y = 7 - 2x.
Étape 2 : Substituer
On remplace y par 7 - 2x dans l'équation (2) : 3x - 2(7 - 2x) = 14.
Étape 3 : Résoudre
On développe : 3x - 14 + 4x = 14 → 7x - 14 = 14 → 7x = 28 → x = 4.
Étape 4 : Trouver l'autre inconnue
On utilise y = 7 - 2x : y = 7 - 2*4 = 7 - 8 = -1. Donc la solution est (x = 4, y = -1).
Étape 5 : Vérification
Dans (1) : 2*4 + (-1) = 8 - 1 = 7 ✓. Dans (2) : 3*4 - 2*(-1) = 12 + 2 = 14 ✓. La solution est correcte.
Erreurs fréquentes et conseils
- Oublier les parenthèses : Quand tu substitues, mets toujours des parenthèses autour de l'expression pour éviter les erreurs de signe.
- Se tromper dans la distribution : Par exemple, -2(7 - 2x) donne -14 + 4x, pas -14 - 4x.
- Ne pas vérifier : La vérification est rapide et te garantit que tu n'as pas fait d'erreur.
Pour t'entraîner, consulte nos exercices sur les systèmes et approfondis avec d'autres méthodes de résolution. Si tu prépares le brevet, jette un œil à AlloBrevet pour des révisions ciblées.
Quand utiliser la substitution plutôt qu'une autre méthode ?
La méthode par substitution est idéale quand une inconnue a un coefficient 1 ou -1. Sinon, la méthode par combinaison (addition) peut être plus rapide. Mais avec de l'entraînement, tu choisiras la plus adaptée. Pour découvrir d'autres types d'équations, visite notre page dédiée.
Conclusion
La méthode par substitution est un outil puissant pour résoudre les systèmes. Avec de la pratique, elle deviendra un réflexe. N'oublie pas : isole, substitue, résous, puis vérifie. Tu es capable de maîtriser cette technique !