Tu sais résoudre une équation du second degré ? Alors tu es à deux doigts de maîtriser les inéquations du second degré. La grande différence, c'est qu'au lieu de chercher les valeurs qui annulent un trinôme, on va chercher toutes les valeurs pour lesquelles ce trinôme est positif ou négatif. C'est un peu comme passer d'une photo à un film : on ne regarde plus un point précis, mais tout un intervalle.
Dans cet article, on va voir ensemble la méthode complète pour résoudre une inéquation second degré, en s'appuyant sur l'étude du signe du trinôme. Tu vas apprendre à utiliser le discriminant, à dresser un tableau de signes, et à écrire l'ensemble des solutions. Tout cela avec des exemples entièrement résolus et vérifiés.
Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?
Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut s'écrire sous l'une des formes suivantes :
- ax² + bx + c > 0
- ax² + bx + c ≥ 0
- ax² + bx + c < 0
- ax² + bx + c ≤ 0
où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0 (sinon ce n'est plus du second degré).
Résoudre une telle inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie. L'ensemble de ces valeurs s'appelle l'ensemble des solutions, souvent noté S.
Pour y parvenir, on va étudier le signe du trinôme ax² + bx + c. C'est-à-dire déterminer pour quelles valeurs de x ce trinôme est positif, négatif ou nul. Cette étude repose sur la recherche des racines (les valeurs qui annulent le trinôme) et sur la connaissance de la forme de la parabole.
Rappel : discriminant et racines
Pour un trinôme ax² + bx + c, on calcule le discriminant :
Δ = b² - 4ac
Trois cas se présentent :
- Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
- Δ = 0 : une racine double x₀ = -b / (2a).
- Δ < 0 : aucune racine réelle.
Le signe du trinôme dépend de ces racines et du signe de a. C'est ce qu'on appelle le signe du trinôme.
Méthode étape par étape pour résoudre une inéquation second degré
Voici la marche à suivre, valable pour toutes les inéquations du second degré.
Étape 1 : Mettre l'inéquation sous la forme ax² + bx + c (avec >, ≥, < ou ≤) 0
Regroupe tous les termes du même côté du signe d'inégalité, de façon à avoir 0 de l'autre côté. Par exemple, si tu as x² + 3x > 4, écris x² + 3x - 4 > 0.
Étape 2 : Calculer le discriminant Δ
Identifie a, b, c et calcule Δ = b² - 4ac. Cela te dira combien de racines possède le trinôme.
Étape 3 : Trouver les racines (si elles existent)
Selon le signe de Δ, calcule les racines. Si Δ < 0, il n'y a pas de racine : le trinôme garde un signe constant.
Étape 4 : Étudier le signe du trinôme
Deux situations :
- Si Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé à a entre les racines. Autrement dit, il s'annule en x₁ et x₂, et change de signe à chaque racine.
- Si Δ = 0 : le trinôme est du signe de a partout, sauf en x₀ où il vaut 0.
- Si Δ < 0 : le trinôme est toujours du signe de a (strictement, jamais nul).
Pour visualiser, tu peux dresser un tableau de signes avec une ligne pour x, une pour le signe de ax² + bx + c.
Étape 5 : Conclure et donner l'ensemble des solutions
Selon l'inégalité demandée (strictement positive, négative, etc.), sélectionne les intervalles où le trinôme vérifie la condition. N'oublie pas d'inclure ou d'exclure les racines selon que l'inégalité est stricte ou large.
Tu peux retrouver d'autres méthodes et exemples sur notre page dédiée aux types d'équations.
Exemple résolu entièrement
Résolvons l'inéquation : 2x² - 5x + 2 > 0.
Étape 1 : Forme déjà correcte
L'inéquation est déjà sous la forme ax² + bx + c > 0 avec a = 2, b = -5, c = 2.
Étape 2 : Calcul du discriminant
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4 × 2 × 2 = 25 - 16 = 9.
Δ > 0, donc deux racines distinctes.
Étape 3 : Calcul des racines
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 0,5.
x₂ = (-b + √Δ) / (2a) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2.
Les racines sont 0,5 et 2.
Étape 4 : Signe du trinôme
Comme a = 2 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre. Donc :
- Pour x < 0,5 : 2x² - 5x + 2 > 0
- Pour x = 0,5 : le trinôme vaut 0
- Pour 0,5 < x < 2 : le trinôme est négatif
- Pour x = 2 : le trinôme vaut 0
- Pour x > 2 : le trinôme est positif
Étape 5 : Conclusion
On cherche les solutions de 2x² - 5x + 2 > 0 (strictement positif). Donc on exclut les racines. L'ensemble des solutions est :
S = ]-∞ ; 0,5[ ∪ ]2 ; +∞[.
Vérification : Prenons x = 0 (dans ]-∞ ; 0,5[) : 2×0² - 5×0 + 2 = 2 > 0. Correct.
Prenons x = 1 (dans ]0,5 ; 2[) : 2×1² - 5×1 + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 < 0. Correct.
Prenons x = 3 (dans ]2 ; +∞[) : 2×9 - 15 + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 > 0. Correct.
Pour t'entraîner, tu trouveras des exercices corrigés sur notre site.
Erreurs fréquentes et conseils de méthode
Erreur 1 : Oublier de changer le sens de l'inégalité
Quand tu multiplies ou divises les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. Par exemple, -2x > 4 devient x < -2. Pense-y surtout si tu manipules l'inéquation avant d'arriver à la forme ax² + bx + c.
Erreur 2 : Mal appliquer la règle des signes
La règle « du signe de a à l'extérieur des racines » n'est valable que si Δ > 0. Si Δ = 0 ou Δ < 0, le signe est constant (sauf en la racine double). Vérifie toujours le signe de a et le nombre de racines.
Erreur 3 : Inclure ou exclure les racines à tort
Si l'inégalité est stricte (> ou <), les racines ne font pas partie des solutions. Si elle est large (≥ ou ≤), elles en font partie. Sois attentif aux crochets ouverts ou fermés.
Conseil : Dresser un tableau de signes
Pour éviter les erreurs, fais un tableau de signes avec une ligne pour x, une pour le signe de chaque facteur (si tu factorises), et une pour le signe du trinôme. Cela te donne une vision claire des intervalles solutions.
Astuce de révision
Entraîne-toi à passer d'une inéquation à sa représentation graphique : la parabole coupe l'axe des abscisses aux racines, et on regarde les portions au-dessus ou en dessous de l'axe. Cela renforce la compréhension du signe du trinôme.
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Conclusion
Résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe du trinôme. Avec la méthode en 5 étapes — mise en forme, discriminant, racines, tableau de signes, conclusion — tu peux venir à bout de n'importe quelle inéquation. N'oublie pas de vérifier tes solutions et de t'entraîner régulièrement. Plus tu pratiques, plus cela deviendra automatique. Alors, à tes crayons !