Tu as déjà résolu une inéquation comme 2x + 3 > 0 ? Facile. Mais que se passe-t-il quand l'inéquation devient (x − 1)(x + 4) < 0, ou pire, (2x + 1) / (x − 3) ≥ 0 ? C'est là que le tableau de signes entre en scène. C'est l'outil indispensable pour étudier le signe d'une expression algébrique et résoudre n'importe quelle inéquation, du collège au lycée. Dans cet article, on t'explique tout : la méthode pas à pas, des exemples entièrement résolus, et les erreurs à éviter absolument.
Qu'est-ce qu'un tableau de signes ?
Un tableau de signes est un tableau qui récapitule le signe (positif ou négatif) d'une expression en fonction des valeurs de x. On l'utilise pour répondre à des questions du type :
- Pour quelles valeurs de x l'expression est-elle positive ?
- Pour quelles valeurs de x est-elle négative ?
- Où s'annule-t-elle ?
L'étude du signe d'une expression est une étape clé dans la résolution d'inéquations, mais aussi pour dresser des tableaux de variations (lycée) ou étudier des fonctions. C'est donc une compétence transversale à maîtriser absolument.
Pourquoi un tableau ? Parce qu'une expression peut changer de signe plusieurs fois. Le tableau permet de visualiser d'un seul coup d'œil le signe sur chaque intervalle.
La méthode pas à pas pour construire un tableau de signes
Voici la démarche universelle, valable pour un produit, un quotient, ou une expression factorisée.
Étape 1 : Factoriser au maximum l'expression
Pour étudier le signe d'une expression, il faut qu'elle soit sous forme de produit ou de quotient de facteurs simples (du type ax + b, ou ax² + bx + c). Si tu as une somme, factorise ! Par exemple :
- x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) (factorisation du trinôme)
- (x − 1)² − 4 = (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1) (identité a² − b²)
Étape 2 : Trouver les valeurs qui annulent chaque facteur
Pour chaque facteur du type ax + b, résous ax + b = 0, ce qui donne x = −b/a. Ces valeurs sont les racines (ou zéros) de l'expression. Elles seront les bornes des intervalles dans le tableau.
Pour un facteur du second degré ax² + bx + c, calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. S'il est positif, les racines sont x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
Étape 3 : Étudier le signe de chaque facteur séparément
Pour un facteur du type ax + b :
- Si a > 0, le facteur est négatif avant la racine, positif après.
- Si a < 0, c'est l'inverse : positif avant, négatif après.
Pour un facteur du second degré : le signe dépend du signe de a et des racines. Retiens : « a > 0, positif à l'extérieur des racines ; a < 0, négatif à l'extérieur ».
Étape 4 : Remplir le tableau et conclure
Place les racines dans l'ordre croissant en haut du tableau. Pour chaque facteur, indique son signe sur chaque intervalle. Enfin, pour la ligne finale (produit ou quotient), applique la règle des signes :
- (+) × (+) = (+)
- (+) × (−) = (−)
- (−) × (−) = (+)
Pour un quotient, c'est pareil, mais attention : la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite (double barre dans le tableau).
Exemple 1 : signe d'un produit (niveau collège)
Étudions le signe de A(x) = (x − 2)(x + 3).
Étape 1 : L'expression est déjà factorisée.
Étape 2 : x − 2 = 0 donne x = 2. x + 3 = 0 donne x = −3. Les racines sont −3 et 2.
Étape 3 : Étudions le signe de chaque facteur :
- x − 2 : coefficient 1 > 0, donc négatif pour x < 2, positif pour x > 2.
- x + 3 : coefficient 1 > 0, donc négatif pour x < −3, positif pour x > −3.
Étape 4 : Construisons le tableau (en texte) :
- Intervalle ]−∞ ; −3[ : x − 2 est négatif, x + 3 est négatif → produit positif.
- Intervalle ]−3 ; 2[ : x − 2 est négatif, x + 3 est positif → produit négatif.
- Intervalle ]2 ; +∞[ : x − 2 est positif, x + 3 est positif → produit positif.
Conclusion : A(x) > 0 sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[, A(x) < 0 sur ]−3 ; 2[, et A(x) = 0 pour x = −3 ou x = 2.
Vérification : Prenons x = 0 (dans ]−3 ; 2[). A(0) = (0 − 2)(0 + 3) = (−2)(3) = −6 < 0. C'est cohérent. Prenons x = 3 (dans ]2 ; +∞[). A(3) = (1)(6) = 6 > 0. Correct.
Exemple 2 : signe d'un quotient (niveau lycée)
Étudions le signe de B(x) = (2x + 1) / (x − 3).
Étape 1 : Déjà sous forme de quotient.
Étape 2 : 2x + 1 = 0 → x = −1/2. x − 3 = 0 → x = 3 (valeur interdite).
Étape 3 : Signe des facteurs :
- 2x + 1 : coefficient 2 > 0, donc négatif pour x < −1/2, positif pour x > −1/2.
- x − 3 : coefficient 1 > 0, donc négatif pour x < 3, positif pour x > 3.
Étape 4 : Tableau de signes (en texte) :
- ]−∞ ; −1/2[ : numérateur négatif, dénominateur négatif → quotient positif.
- ]−1/2 ; 3[ : numérateur positif, dénominateur négatif → quotient négatif.
- ]3 ; +∞[ : numérateur positif, dénominateur positif → quotient positif.
- En x = −1/2 : le quotient s'annule (0 au numérateur).
- En x = 3 : valeur interdite (double barre).
Conclusion : B(x) > 0 sur ]−∞ ; −1/2[ ∪ ]3 ; +∞[, B(x) < 0 sur ]−1/2 ; 3[, B(x) = 0 pour x = −1/2.
Vérification : Pour x = 0 (dans ]−1/2 ; 3[), B(0) = 1 / (−3) = −1/3 < 0. Correct. Pour x = 4 (dans ]3 ; +∞[), B(4) = 9 / 1 = 9 > 0. Correct.
Exemple 3 : signe d'un trinôme du second degré
Soit C(x) = x² − 5x + 6. On veut étudier son signe.
Étape 1 : On factorise. Δ = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1. Les racines sont x₁ = (5 − 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3. Donc C(x) = (x − 2)(x − 3).
Étape 2 : Racines : 2 et 3.
Étape 3 : Signe de chaque facteur :
- x − 2 : négatif pour x < 2, positif pour x > 2.
- x − 3 : négatif pour x < 3, positif pour x > 3.
Étape 4 : Tableau :
- ]−∞ ; 2[ : négatif × négatif = positif.
- ]2 ; 3[ : positif × négatif = négatif.
- ]3 ; +∞[ : positif × positif = positif.
Conclusion : C(x) > 0 sur ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[, C(x) < 0 sur ]2 ; 3[. On retrouve la règle : a = 1 > 0, donc positif à l'extérieur des racines.
Vérification : x = 0 donne C(0) = 6 > 0. x = 2,5 donne C(2,5) = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 < 0. Correct.
Erreurs fréquentes et conseils
- Oublier de factoriser : un tableau de signes ne fonctionne que sur un produit ou un quotient. Une somme ne se met pas directement dans un tableau.
- Confondre signe et variation : le signe indique si l'expression est positive ou négative, pas si elle augmente ou diminue. Ce sont deux notions distinctes.
- Mauvaise gestion des valeurs interdites : pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur doit être exclue (double barre).
- Erreur de signe sur les coefficients : si le coefficient de x est négatif, le signe du facteur s'inverse. Vérifie toujours.
- Ne pas vérifier : prends l'habitude de tester une valeur dans chaque intervalle pour valider ton tableau.
Pour t'entraîner, tu trouveras des exercices corrigés sur AlloEquations. Si tu veux revoir les bases des équations, consulte notre page sur les différents types d'équations. Et pour aller plus loin au lycée, direction notre espace lycée.
Conclusion
Le tableau de signes est un outil puissant et systématique. Une fois la méthode assimilée (factoriser, trouver les racines, étudier chaque facteur, combiner), tu pourras résoudre n'importe quelle inéquation. N'oublie pas de vérifier tes résultats et de t'entraîner régulièrement. Pour des révisions complètes, pense aussi à nos partenaires : AlloBrevet pour le collège et AlloBac pour le lycée. Allez, à toi de jouer !