Tu as déjà résolu des équations comme 2x + 3 = 0, mais quand on te demande de résoudre une inéquation produit du type (2x + 3)(x - 1) > 0, c'est une autre paire de manches. Pas de panique ! Avec une méthode claire et un peu d'entraînement, tu vas y arriver. Dans cet article, je te donne une checklist étape par étape pour résoudre les inéquations produit et quotient, avec des exemples détaillés et des pièges à éviter.
1. Qu'est-ce qu'une inéquation produit ?
Une inéquation produit est une inéquation qui contient un produit de deux (ou plus) expressions. Par exemple :
- (x + 2)(3x - 1) ≤ 0
- (x - 5)(x + 1) > 0
- 2x(x - 3) < 0
Le but est de trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie. Pour cela, on va étudier le signe du produit, c'est-à-dire savoir quand il est positif, négatif ou nul.
Une inéquation quotient contient une fraction avec x au dénominateur, par exemple :
- (x + 1) / (x - 2) ≥ 0
- (2x - 3) / (x + 4) < 0
La méthode est très similaire, mais il faut faire attention au domaine de définition : le dénominateur ne doit jamais être nul.
2. La règle des signes : le cœur de la méthode
Pour connaître le signe d'un produit, on utilise la règle :
- Positif × positif = positif
- Négatif × négatif = positif
- Positif × négatif = négatif
Autrement dit, un produit de deux facteurs est positif si les deux facteurs ont le même signe, et négatif s'ils ont des signes contraires.
Pour une inéquation quotient, c'est pareil, mais il faut aussi que le dénominateur ne soit pas nul.
3. La checklist en 5 étapes pour une inéquation produit
Étape 1 : Rendre le membre de droite égal à 0
Si l'inéquation n'est pas déjà sous la forme produit > 0, il faut tout passer du même côté. Par exemple, pour résoudre (x + 1)(x - 3) > x + 1, on soustrait x + 1 des deux côtés :
(x + 1)(x - 3) - (x + 1) > 0
Ensuite, on factorise si possible. Ici, on peut factoriser par (x + 1) :
(x + 1)[(x - 3) - 1] > 0, ce qui donne (x + 1)(x - 4) > 0.
Étape 2 : Factoriser au maximum
Pour appliquer la règle des signes, il faut que l'expression soit un produit de facteurs du premier degré (du type ax + b). Parfois, il faut factoriser un trinôme, par exemple x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Si tu as une expression comme x² - 9, tu peux utiliser l'identité remarquable : x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
Étape 3 : Trouver les valeurs qui annulent chaque facteur
Pour chaque facteur ax + b, on résout l'équation ax + b = 0. Par exemple, pour (2x + 3)(x - 1) = 0, on a :
2x + 3 = 0 → x = -3/2
x - 1 = 0 → x = 1
Étape 4 : Construire le tableau de signes
On place ces valeurs sur un axe, puis on étudie le signe de chaque facteur dans chaque intervalle. Pour un facteur ax + b, il est nul en x0 = -b/a, et son signe est celui de a à droite de x0, et le signe contraire à gauche.
Par exemple, pour 2x + 3 : a = 2 > 0, donc il est négatif avant -3/2 et positif après.
Ensuite, on multiplie les signes pour obtenir le signe du produit.
Étape 5 : Conclure avec l'ensemble des solutions
Selon le signe demandé (>, <, ≥, ≤), on sélectionne les intervalles correspondants. Attention aux valeurs qui annulent le produit : elles sont incluses si l'inégalité est large (≥ ou ≤), exclues si elle est stricte (> ou <).
4. Exemple résolu pas à pas : (2x + 3)(x - 1) > 0
On veut résoudre (2x + 3)(x - 1) > 0.
Étape 1 : Le membre de droite est déjà 0. On factorise déjà, c'est bon.
Étape 2 : On cherche les racines : 2x + 3 = 0 → x = -3/2 ; x - 1 = 0 → x = 1.
Étape 3 : Tableau de signes :
On place -3/2 et 1 sur l'axe. On étudie le signe de 2x + 3 : pour x < -3/2, par exemple x = -2, 2(-2)+3 = -1 < 0 ; pour x > -3/2, par exemple x = 0, 2(0)+3 = 3 > 0. Donc : - sur ]-∞, -3/2[, + sur ]-3/2, +∞[.
Pour x - 1 : pour x < 1, par exemple x = 0, 0-1 = -1 < 0 ; pour x > 1, par exemple x = 2, 2-1 = 1 > 0. Donc : - sur ]-∞, 1[, + sur ]1, +∞[.
On combine : sur ]-∞, -3/2[ : (-) × (-) = + ; sur ]-3/2, 1[ : (+) × (-) = - ; sur ]1, +∞[ : (+) × (+) = +.
Étape 4 : On veut > 0, donc on garde les intervalles où le produit est positif : ]-∞, -3/2[ ∪ ]1, +∞[. Les valeurs -3/2 et 1 sont exclues car l'inégalité est stricte.
Vérification : Prenons x = -2 (dans le premier intervalle) : (2(-2)+3)(-2-1) = (-1)(-3) = 3 > 0, OK. Prenons x = 0 (dans l'intervalle négatif) : (3)(-1) = -3 < 0, donc exclu. Prenons x = 2 : (7)(1) = 7 > 0, OK.
L'ensemble des solutions est donc S = ]-∞, -3/2[ ∪ ]1, +∞[.
5. Cas particulier : l'inéquation quotient
Pour une inéquation quotient, la méthode est identique, mais il faut d'abord déterminer le domaine de définition : le dénominateur doit être non nul. Ensuite, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément, puis on applique la règle des signes pour le quotient (même règle que pour le produit).
Exemple : résoudre (x + 1) / (x - 2) ≥ 0.
Domaine : x - 2 ≠ 0, donc x ≠ 2.
Racines : numérateur x + 1 = 0 → x = -1 ; dénominateur x - 2 = 0 → x = 2 (valeur interdite).
Tableau de signes : on place -1 et 2. Sur ]-∞, -1[ : numérateur négatif, dénominateur négatif → quotient positif. Sur ]-1, 2[ : numérateur positif, dénominateur négatif → quotient négatif. Sur ]2, +∞[ : numérateur positif, dénominateur positif → quotient positif.
On veut ≥ 0, donc on garde les intervalles où le quotient est positif ou nul. Le quotient est nul en x = -1 (numérateur nul), donc on inclut -1. La valeur 2 est exclue (dénominateur nul). Donc S = ]-∞, -1] ∪ ]2, +∞[.
Vérification : pour x = -2, quotient = (-1)/(-4) = 0,25 > 0, OK. Pour x = 0, quotient = 1/(-2) = -0,5 < 0, exclu. Pour x = 3, quotient = 4/1 = 4 > 0, OK.
6. Les erreurs fréquentes et comment les éviter
- Oublier de factoriser : si l'expression n'est pas un produit, la règle des signes ne s'applique pas directement. Factorise toujours.
- Confondre les valeurs interdites et les racines : dans un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite, mais elle n'annule pas le quotient. Elle doit être exclue de l'ensemble de définition.
- Inclure les bornes quand l'inégalité est stricte : pour > ou <, les valeurs qui annulent l'expression sont exclues. Pour ≥ ou ≤, elles sont incluses.
- Ne pas vérifier le signe de a dans ax + b : si a est négatif, le signe est inversé. Par exemple, -2x + 1 est positif pour x < 1/2, négatif pour x > 1/2.
- Oublier le domaine de définition pour les quotients : toujours commencer par exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
7. Entraîne-toi avec des exercices
La meilleure façon de maîtriser les inéquations produit et quotient, c'est de t'entraîner. Tu peux commencer avec des exercices simples comme (x - 1)(x + 2) < 0, puis augmenter la difficulté avec des quotients comme (2x - 4) / (x + 3) ≤ 0. N'hésite pas à vérifier tes réponses en testant des valeurs dans chaque intervalle.
Si tu veux plus d'exercices corrigés, consulte notre page exercices. Et pour revoir les bases des équations, va voir les différents types d'équations.
8. Conclusion : tu as toutes les clés en main
Résoudre une inéquation produit ou quotient n'est pas sorcier, il suffit de suivre la méthode : factoriser, trouver les racines, tableau de signes, conclure. Avec un peu de pratique, tu verras que ça devient un réflexe. Pour approfondir, tu peux aussi consulter nos ressources pour le lycée sur les mathématiques au lycée. Et si tu prépares le brevet, jette un œil à AlloBrevet pour des révisions complètes. Allez, lance-toi !