Les inéquations du second degré, c'est un passage obligé au lycée. Mais pas de panique : avec une méthode claire, tu vas voir que c'est simple. Dans cet article, on te donne la checklist complète pour résoudre n'importe quelle inéquation de la forme ax² + bx + c ≤ 0 ou ax² + bx + c ≥ 0. Prêt ? C'est parti.
Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?
Une inéquation du second degré est une inégalité qui contient un polynôme de degré 2. Par exemple : 2x² - 3x + 1 > 0 ou -x² + 4x - 3 ≤ 0. Le but est de trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité. La clé pour y arriver : étudier le signe du trinôme.
Méthode en 4 étapes pour résoudre une inéquation du second degré
Étape 1 : Mettre l'inéquation sous la forme f(x) ≤ 0 ou f(x) ≥ 0
Si ce n'est pas déjà le cas, déplace tous les termes dans un seul membre. Par exemple, pour 2x² - 3x + 1 > 0, c'est déjà bon. Pour 2x² - 3x + 1 > 5x - 2, tu écris 2x² - 8x + 3 > 0.
Étape 2 : Calculer le discriminant Δ
Pour un trinôme ax² + bx + c, le discriminant est Δ = b² - 4ac. Selon son signe, le trinôme a 0, 1 ou 2 racines réelles.
Étape 3 : Déterminer le signe du trinôme
Le signe du trinôme dépend du signe de a et des racines :
- Si Δ < 0 : le trinôme est du signe de a pour tout x.
- Si Δ = 0 : le trinôme est du signe de a pour tout x sauf à la racine où il est nul.
- Si Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.
On peut résumer ça dans un tableau de signe.
Étape 4 : Lire l'ensemble solution
Selon l'inégalité (≤, ≥, <, >), on sélectionne les intervalles où le signe correspond. Attention aux inégalités strictes : les racines ne sont pas incluses.
Exemple résolu étape par étape
Résolvons l'inéquation : 2x² - 5x + 2 ≤ 0.
Étape 1 : C'est déjà sous la bonne forme : 2x² - 5x + 2 ≤ 0.
Étape 2 : Calcul de Δ : a = 2, b = -5, c = 2. Δ = (-5)² - 4×2×2 = 25 - 16 = 9. Δ > 0, donc deux racines.
Étape 3 : Calcul des racines : x₁ = (5 - √9) / (2×2) = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 0,5 ; x₂ = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.
Comme a = 2 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines. Tableau de signe : x de -∞ à 0,5 : signe + ; de 0,5 à 2 : signe - ; de 2 à +∞ : signe +.
Étape 4 : On veut ≤ 0, donc on prend l'intervalle où le signe est négatif, et on inclut les racines car l'inégalité est large. Solution : [0,5 ; 2].
Vérification : Pour x = 1, 2×1² - 5×1 + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 ≤ 0, ok. Pour x = 0, 2×0 - 0 + 2 = 2 > 0, donc 0 n'est pas solution, ce qui correspond bien.
Erreurs fréquentes et conseils
- Oublier de mettre tous les termes du même côté : toujours se ramener à f(x) ≤ 0 ou f(x) ≥ 0.
- Confondre signe de a et sens de l'inégalité : le signe de a ne donne que la forme du tableau, pas directement la solution.
- Ne pas vérifier le signe de Δ : si Δ < 0, le trinôme a un signe constant, ne cherche pas de racines.
- Inverser les bornes dans le tableau : les racines s'ordonnent toujours de la plus petite à la plus grande.
- Mélanger inégalité large et stricte : ≤ inclut les racines, < les exclut.
Pour t'entraîner, rends-toi sur notre page d'exercices et consulte aussi les différents types d'équations. Si tu es en lycée, n'oublie pas de visiter notre rubrique lycée.
Conclusion
Tu as maintenant toutes les clés pour réussir tes inéquations du second degré. Avec la checklist en tête, tu ne te tromperas plus. Continue de t'entraîner, et n'hésite pas à revenir sur cette méthode si besoin. Pour d'autres révisions, jette un œil à AlloBrevets ou AlloBac !