Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?

C'est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c > 0 (ou <, ≥, ≤) avec a ≠ 0. Résoudre revient à trouver les intervalles où le trinôme est positif ou négatif.

Comment déterminer le signe d'un trinôme du second degré ?

On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Si Δ = 0, il est du signe de a partout sauf en la racine double où il s'annule. Si Δ < 0, il est toujours du signe de a.

Que faire si le discriminant est négatif ?

Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle et garde un signe constant : celui de a. Donc soit l'inéquation a pour solution ℝ entier (si le signe correspond), soit l'ensemble vide.

Comment écrire l'ensemble des solutions ?

On utilise des intervalles. Par exemple, si le trinôme est positif à l'extérieur des racines x₁ et x₂ (avec x₁ 0 est ]−∞ ; x₁[ ∪ ]x₂ ; +∞[. Pour ≥ 0, on inclut les racines : ]−∞ ; x₁] ∪ [x₂ ; +∞[.

Quelle est la différence entre équation et inéquation du second degré ?

Une équation du second degré cherche les valeurs qui annulent le trinôme (les racines). Une inéquation cherche les intervalles où le trinôme est positif ou négatif. La méthode commence pareil (discriminant, racines) mais se termine par un tableau de signes.

Peut-on résoudre une inéquation du second degré sans discriminant ?

Parfois, si le trinôme est un carré parfait ou se factorise facilement. Mais dans le cas général, le discriminant est l'outil le plus fiable pour trouver les racines et étudier le signe.

Inéquation second degré : la méthode étape par étape

Q: Comment déterminer le signe d'un trinôme du second degré ?

On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Si Δ = 0, il est du signe de a partout sauf en la racine double où il s'annule. Si Δ < 0, il est toujours du signe de a.

Q: Que faire si le discriminant est négatif ?

Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle et garde un signe constant : celui de a. Donc soit l'inéquation a pour solution ℝ entier (si le signe correspond), soit l'ensemble vide.

Q: Comment écrire l'ensemble des solutions ?

On utilise des intervalles. Par exemple, si le trinôme est positif à l'extérieur des racines x₁ et x₂ (avec x₁ 0 est ]−∞ ; x₁[ ∪ ]x₂ ; +∞[. Pour ≥ 0, on inclut les racines : ]−∞ ; x₁] ∪ [x₂ ; +∞[.

Q: Quelle est la différence entre équation et inéquation du second degré ?

Une équation du second degré cherche les valeurs qui annulent le trinôme (les racines). Une inéquation cherche les intervalles où le trinôme est positif ou négatif. La méthode commence pareil (discriminant, racines) mais se termine par un tableau de signes.

Q: Peut-on résoudre une inéquation du second degré sans discriminant ?

Parfois, si le trinôme est un carré parfait ou se factorise facilement. Mais dans le cas général, le discriminant est l'outil le plus fiable pour trouver les racines et étudier le signe.

Tu sais résoudre une équation du second degré ? Alors tu es à deux doigts de résoudre une inéquation second degré ! La seule grande différence, c'est qu'au lieu de chercher quand le trinôme vaut zéro, tu vas chercher quand il est positif ou négatif. Et ça, ça change tout… mais avec la bonne méthode, c'est presque un jeu d'enfant.

Dans cet article, on va voir ensemble comment déterminer le signe du trinôme ax² + bx + c, puis comment en déduire les solutions d'inéquations comme x² − 3x + 2 > 0, −2x² + 5x − 3 ≤ 0 ou encore x² + x + 1 < 0. On avancera pas à pas, avec un exemple entièrement résolu et vérifié. Prêt ? C'est parti !

1. C'est quoi une inéquation du second degré ?

Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme :

ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥ 0, ≤ 0), avec a ≠ 0.

Le membre de gauche, ax² + bx + c, s'appelle un trinôme du second degré. Résoudre l'inéquation, c'est trouver tous les réels x pour lesquels l'inégalité est vraie. On cherche donc un ensemble de solutions, souvent noté S, qui sera un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Pourquoi c'est important ? Parce que ces inéquations apparaissent partout : en physique pour étudier la position d'un objet, en économie pour étudier un bénéfice, et bien sûr en maths pour l'étude du signe d'une expression. Si tu veux revoir les bases des équations, jette un œil à notre page types d'équations.

2. La clé : le signe du trinôme

Avant de résoudre une inéquation, il faut savoir où le trinôme est positif et où il est négatif. Pour cela, on utilise le discriminant Δ = b² − 4ac et les racines éventuelles.

2.1. Calcul du discriminant

Pour le trinôme ax² + bx + c, on calcule Δ = b² − 4ac. Trois cas se présentent :

Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a).
Δ = 0 : une racine double x₀ = −b / (2a).
Δ < 0 : aucune racine réelle.

2.2. Signe du trinôme selon Δ

Le signe du trinôme dépend de a et de Δ. Retiens ce tableau (à connaître par cœur !) :

Si Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé à a entre les racines.
Si Δ = 0 : le trinôme est du signe de a partout, sauf en x₀ où il s'annule.
Si Δ < 0 : le trinôme est toujours du signe de a (jamais nul).

Autrement dit, si a > 0, la parabole est tournée vers le haut : le trinôme est négatif entre les racines (si elles existent) et positif ailleurs. Si a < 0, c'est l'inverse.

3. La méthode étape par étape

Voici la recette universelle pour résoudre n'importe quelle inéquation du second degré. Suis-la dans l'ordre, et tu ne te tromperas plus.

Étape 1 : Se ramener à la forme ax² + bx + c (avec >, <, ≥ ou ≤) comparée à 0

Parfois l'inéquation est donnée sous une autre forme. Il faut tout mettre du même côté et réduire pour obtenir un trinôme comparé à 0. Par exemple, 2x² > 5x − 3 devient 2x² − 5x + 3 > 0.

Étape 2 : Identifier a, b, c et calculer Δ

Repère soigneusement les coefficients a, b, c (attention aux signes !). Puis calcule Δ = b² − 4ac.

Étape 3 : Trouver les racines (si elles existent)

Selon le signe de Δ, calcule les racines avec les formules. Si Δ < 0, il n'y a pas de racine, passe directement à l'étape 4.

Étape 4 : Dresser le tableau de signes

Place les racines sur une droite graduée (ou dans un tableau). Indique le signe du trinôme sur chaque intervalle en utilisant la règle du signe de a. N'oublie pas : entre les racines, le signe est opposé à a ; à l'extérieur, il est du signe de a.

Étape 5 : Conclure selon l'inégalité demandée

Lis le tableau et sélectionne les intervalles qui correspondent à l'inégalité (par exemple, > 0 : on prend les intervalles où le trinôme est positif). Écris l'ensemble solution S sous forme d'intervalle(s).

4. Exemple résolu entièrement

Résolvons l'inéquation : −2x² + 5x − 3 ≤ 0.

Étape 1 : Forme canonique

L'inéquation est déjà sous la forme ax² + bx + c ≤ 0. On a a = −2, b = 5, c = −3.

Étape 2 : Calcul du discriminant

Δ = b² − 4ac = 5² − 4 × (−2) × (−3) = 25 − 24 = 1.

Étape 3 : Racines

Δ > 0, donc deux racines :

x₁ = (−b − √Δ) / (2a) = (−5 − 1) / (2 × (−2)) = (−6) / (−4) = 3/2 = 1,5.

x₂ = (−b + √Δ) / (2a) = (−5 + 1) / (−4) = (−4) / (−4) = 1.

Étape 4 : Tableau de signes

Comme a = −2 < 0, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines. Les racines sont 1 et 1,5 (1 < 1,5).

Sur ]−∞ ; 1[ : signe de a = négatif → trinôme < 0.
En x = 1 : trinôme = 0.
Sur ]1 ; 1,5[ : signe opposé à a = positif → trinôme > 0.
En x = 1,5 : trinôme = 0.
Sur ]1,5 ; +∞[ : signe de a = négatif → trinôme < 0.

Étape 5 : Conclusion

On cherche les x tels que le trinôme soit ≤ 0. D'après le tableau, c'est le cas sur ]−∞ ; 1] ∪ [1,5 ; +∞[. Donc S = ]−∞ ; 1] ∪ [1,5 ; +∞[.

Vérification

Testons x = 0 (dans ]−∞ ; 1]) : −2×0² + 5×0 − 3 = −3 ≤ 0. Correct.

Testons x = 1,2 (entre 1 et 1,5) : −2×(1,2)² + 5×1,2 − 3 = −2×1,44 + 6 − 3 = −2,88 + 3 = 0,12 > 0. Donc 1,2 n'est pas solution, ce qui est cohérent.

Testons x = 2 (dans [1,5 ; +∞[) : −2×4 + 10 − 3 = −8 + 7 = −1 ≤ 0. Correct.

Parfait, la solution est validée !

5. Erreurs fréquentes et conseils

Oublier de changer le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. Mais attention : ici, on ne divise pas par a, on utilise le signe du trinôme. Ne confonds pas !
Mal appliquer la règle des signes : entre les racines, le signe est opposé à a. Si a > 0, c'est négatif entre les racines. Si a < 0, c'est positif. Un moyen mnémotechnique : imagine la parabole. Si a > 0, elle est tournée vers le haut, donc elle passe en dessous de l'axe des abscisses entre les racines (négatif). Si a < 0, elle est tournée vers le bas, donc au-dessus entre les racines (positif).
Confondre les racines et les solutions de l'inéquation : les racines annulent le trinôme, mais l'inéquation demande souvent une inégalité stricte ou large. Pour ≤ ou ≥, on inclut les racines ; pour < ou >, on les exclut.
Ne pas vérifier : prends toujours 30 secondes pour tester une valeur dans un intervalle solution et une valeur en dehors. Ça évite les erreurs d'étourderie.

Pour t'entraîner, rien ne vaut la pratique. Va faire un tour sur nos exercices pour appliquer la méthode. Et si tu es au lycée, nos ressources niveau lycée te seront précieuses pour approfondir. Tu peux aussi consulter AlloBrevet pour le brevet et AlloBac pour le bac.

6. Conclusion

Résoudre une inéquation du second degré, c'est avant tout maîtriser le signe du trinôme. Avec la méthode en 5 étapes — forme canonique, discriminant, racines, tableau de signes, conclusion — tu as toutes les cartes en main. N'oublie pas de vérifier tes solutions et de t'entraîner régulièrement. Plus tu pratiques, plus ça devient automatique. Alors, à toi de jouer !