Tu dois résoudre un système d'équations et tu ne sais pas par où commencer ? La méthode par substitution est l'une des techniques les plus puissantes et les plus simples à comprendre. Que tu sois en 3e, en 2nde ou en 1ère, ce guide complet va t'apprendre à l'utiliser étape par étape. Prêt à devenir un champion de la substitution système ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations est un ensemble de deux équations (ou plus) qui doivent être vérifiées en même temps par les mêmes valeurs des inconnues. Généralement, on note les inconnues x et y. Par exemple :
⎧ x + y = 10
⎨ 2x - y = 5
Résoudre ce système, c'est trouver le couple (x ; y) qui rend les deux équations vraies simultanément. La résolution par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis à remplacer (substituer) cette expression dans l'autre équation.
La méthode par substitution en 4 étapes
Étape 1 : Choisis l'équation et l'inconnue à isoler
Regarde les deux équations. Choisis celle où une inconnue a un coefficient simple (souvent 1 ou -1). Par exemple, dans x + y = 10, le coefficient de x est 1, c'est parfait.
Étape 2 : Isole l'inconnue choisie
Transforme l'équation pour obtenir x = ... ou y = ... . Dans notre exemple : x = 10 - y.
Étape 3 : Substitue dans l'autre équation
Remplace l'inconnue isolée par son expression dans la deuxième équation. On obtient une équation à une seule inconnue.
Exemple : 2(10 - y) - y = 5
Étape 4 : Résous l'équation à une inconnue, puis déduis la seconde
Développe, réduis, résous. Ensuite, reporte la valeur trouvée dans l'expression de l'autre inconnue.
20 - 2y - y = 5 → 20 - 3y = 5 → -3y = -15 → y = 5. Puis x = 10 - 5 = 5. La solution est (5 ; 5).
Exemple résolu en détail
Résolvons le système suivant par substitution :
⎧ 3x + 2y = 12
⎨ x - y = 1
Étape 1 : Dans la deuxième équation, x a un coefficient de 1. On isole x : x = y + 1.
Étape 2 : On substitue dans la première : 3(y + 1) + 2y = 12.
Étape 3 : On résout : 3y + 3 + 2y = 12 → 5y + 3 = 12 → 5y = 9 → y = 9/5 = 1,8.
Étape 4 : On trouve x : x = 1,8 + 1 = 2,8.
Vérification : 3 × 2,8 + 2 × 1,8 = 8,4 + 3,6 = 12 (OK) ; 2,8 - 1,8 = 1 (OK). La solution est (2,8 ; 1,8).
Quand utiliser la substitution plutôt que la combinaison ?
La substitution est idéale quand une inconnue a un coefficient de 1 ou -1. Sinon, la méthode par combinaison (ou addition) peut être plus rapide. Mais la substitution reste toujours applicable, même si les coefficients sont fractionnaires. Pour t'entraîner, consulte nos exercices et nos méthodes.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier les parenthèses : Quand tu substitues, mets toujours des parenthèses autour de l'expression substituée. Exemple : 2(10 - y) et non 2 × 10 - y.
- Se tromper de signe : Si tu isoles x dans x - y = 1, tu obtiens x = y + 1, pas x = y - 1.
- Ne pas vérifier : Remplace toujours les valeurs trouvées dans les deux équations originales pour confirmer.
- Choisir une équation complexe : Si tu isoles une inconnue avec un coefficient non entier, tu compliques les calculs. Préfère celle avec coefficient 1.
Conseils pour réussir au brevet et au bac
Au brevet des collèges, les systèmes sont souvent simples (coefficients entiers). À l'épreuve de mathématiques du bac (voie générale ou technologique), la substitution peut apparaître dans des problèmes de géométrie ou de fonctions. Maîtrise-la bien : c'est un outil universel. Pour réviser, jette un œil à notre article sur les types d'équations et à AlloBrevET pour les révisions du brevet.
Conclusion
La méthode par substitution est simple et efficace. Avec de l'entraînement, tu deviendras rapide et sûr de toi. N'oublie pas : isole, substitue, résous, vérifie. Tu as maintenant toutes les clés pour réussir la résolution par substitution. Continue à t'exercer avec nos ressources et tu verras, les systèmes n'auront plus de secrets pour toi !