Tu as déjà rencontré des expressions comme x² + 5x + 6 ou 2x² - 8x + 8 et on te demande de les factoriser ? Pas de panique ! Factoriser un trinôme, c'est simplement l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs. Dans cet article, on va voir ensemble la méthode pas à pas pour factoriser trinôme du second degré, avec des exemples concrets et des vérifications. À la fin, tu sauras transformer n'importe quelle expression du type ax² + bx + c en forme factorisée, un outil indispensable pour résoudre des équations et étudier des fonctions. C'est parti !
Qu'est-ce qu'un trinôme du second degré ?
Un trinôme du second degré est une expression algébrique de la forme :
ax² + bx + c avec a ≠ 0.
Les nombres a, b et c sont appelés coefficients : a est le coefficient de x², b celui de x, et c le terme constant. Par exemple, dans 3x² - 5x + 2, on a a = 3, b = -5 et c = 2.
Pourquoi a ≠ 0 ? Parce que sinon l'expression devient bx + c, un simple binôme du premier degré, et la méthode change. On se concentre donc sur les trinômes, c'est-à-dire les polynômes de degré 2.
Factoriser un trinôme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de deux binômes du premier degré (ou d'un carré). Par exemple :
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Cette écriture est très utile pour résoudre des équations, car un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
La méthode générale pour factoriser un trinôme
Pour factoriser un trinôme ax² + bx + c, on utilise le discriminant, noté Δ (delta). Voici les étapes :
Étape 1 : Calculer le discriminant
La formule est :
Δ = b² - 4ac
Ce nombre va nous dire combien de racines possède le trinôme (c'est-à-dire combien de solutions a l'équation ax² + bx + c = 0).
Étape 2 : Interpréter le signe de Δ
- Si Δ > 0 : le trinôme a deux racines distinctes x₁ et x₂. Il se factorise sous la forme a(x - x₁)(x - x₂).
- Si Δ = 0 : le trinôme a une racine double x₀. Il se factorise sous la forme a(x - x₀)².
- Si Δ < 0 : le trinôme n'a pas de racine réelle. Il ne peut pas être factorisé en produit de binômes du premier degré à coefficients réels.
Étape 3 : Calculer les racines (si Δ ≥ 0)
Les formules des racines sont :
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
Si Δ = 0, la racine double est x₀ = -b / (2a).
Étape 4 : Écrire la forme factorisée
Selon le cas :
- Δ > 0 : ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
- Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x - x₀)²
- Δ < 0 : pas de factorisation possible dans ℝ.
N'oublie jamais le coefficient a devant les parenthèses ! C'est une erreur très fréquente.
Exemple résolu : factoriser x² + 5x + 6
Prenons le trinôme x² + 5x + 6. Ici, a = 1, b = 5, c = 6.
Étape 1 : Calcul du discriminant
Δ = b² - 4ac = 5² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1.
Étape 2 : Interprétation
Δ = 1 > 0, donc deux racines distinctes.
Étape 3 : Calcul des racines
√Δ = √1 = 1.
x₁ = (-5 - 1) / (2×1) = -6 / 2 = -3.
x₂ = (-5 + 1) / (2×1) = -4 / 2 = -2.
Étape 4 : Forme factorisée
Comme a = 1, on a : x² + 5x + 6 = 1(x - (-3))(x - (-2)) = (x + 3)(x + 2).
Vérification : Développons (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6. C'est bien correct !
Tu peux aussi vérifier en remplaçant x par une valeur, par exemple x = 1 : (1+3)(1+2) = 4×3 = 12 et 1² + 5×1 + 6 = 1 + 5 + 6 = 12. Les deux expressions donnent le même résultat.
Exemple avec a ≠ 1 : factoriser 2x² - 8x + 8
Ici, a = 2, b = -8, c = 8.
Étape 1 : Δ = (-8)² - 4×2×8 = 64 - 64 = 0.
Étape 2 : Δ = 0, donc une racine double.
Étape 3 : x₀ = -b / (2a) = -(-8) / (2×2) = 8 / 4 = 2.
Étape 4 : Forme factorisée : 2(x - 2)².
Vérification : 2(x - 2)² = 2(x² - 4x + 4) = 2x² - 8x + 8. Correct !
Cas particulier : Δ < 0
Prenons x² + x + 1. a = 1, b = 1, c = 1.
Δ = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 < 0.
Il n'y a pas de racine réelle. Le trinôme ne peut pas être factorisé en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels. On dit qu'il est irréductible dans ℝ. Au lycée, tu verras qu'il peut se factoriser dans ℂ, mais ce n'est pas au programme du collège.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier le coefficient a dans la forme factorisée. Par exemple, pour 2x² - 8x + 8, écrire (x - 2)² au lieu de 2(x - 2)² est faux.
- Se tromper de signe dans les formules : x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a). Vérifie bien que tu as mis le signe moins devant b.
- Confondre Δ et √Δ. Le discriminant est b² - 4ac, la racine carrée du discriminant est un autre nombre.
- Ne pas vérifier en développant. C'est le meilleur moyen de détecter une erreur.
- Factoriser sans calculer le discriminant quand on ne voit pas de factorisation évidente. La méthode du discriminant est systématique et fiable.
Pour t'entraîner, n'hésite pas à consulter nos exercices corrigés et à revoir les différents types d'équations.
Conclusion
Tu connais maintenant la méthode complète pour factoriser trinôme du second degré. Retiens les étapes : calcul du discriminant, interprétation, calcul des racines, écriture de la forme factorisée. Avec un peu de pratique, cela deviendra un automatisme. N'oublie pas de vérifier tes résultats en développant. Si tu veux aller plus loin, notamment pour les trinômes avec des coefficients plus complexes, consulte notre rubrique lycée. Et pour préparer le brevet ou le bac, retrouve des ressources sur AlloBrevet et AlloBac. Allez, à toi de jouer !