Comment résoudre une inéquation produit ?

Pour résoudre une inéquation produit, il faut d'abord factoriser l'expression pour obtenir un produit de facteurs du premier degré. Ensuite, on étudie le signe de chaque facteur et on construit un tableau de signes. Enfin, on lit l'intervalle solution selon le signe demandé (positif, négatif, etc.). Par exemple, pour (2x - 1)(x + 3) > 0, on trouve les zéros x = 0,5 et x = -3, puis on détermine les signes et on conclut que la solution est ]-∞ ; -3[ ∪ ]0,5 ; +∞[.

Quelle est la différence entre une inéquation produit et une inéquation quotient ?

Une inéquation produit implique un produit de facteurs, par exemple (ax + b)(cx + d) ≥ 0, tandis qu'une inéquation quotient implique une fraction, par exemple (ax + b)/(cx + d) ≤ 0. La méthode de résolution est similaire (tableau de signes), mais pour un quotient, il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur, car l'expression n'est pas définie.

Pourquoi ne peut-on pas multiplier par le dénominateur dans une inéquation quotient ?

Parce que le dénominateur peut être négatif ou positif selon la valeur de x, et multiplier par une quantité négative inverse le sens de l'inégalité. Comme on ne connaît pas le signe du dénominateur, on ne peut pas multiplier directement. C'est pourquoi on utilise le tableau de signes, qui permet de déterminer le signe du quotient sans risque d'erreur.

Comment traiter les bornes dans l'intervalle solution ?

Si l'inégalité est stricte ( ), les bornes où le produit ou quotient s'annule sont exclues (crochets ouverts). Si l'inégalité est large (≤ ou ≥), les bornes sont incluses, sauf si la valeur annule le dénominateur (valeur interdite), auquel cas elle est toujours exclue. Par exemple, pour (x+2)/(x-1) ≤ 0, -2 est inclus, mais 1 est exclu.

Que faire si l'inéquation quotient n'est pas égale à zéro ?

Il faut tout ramener du même côté pour avoir 0 d'un côté, puis réduire au même dénominateur. Par exemple, pour (x+1)/(x-2) > 3, on écrit (x+1)/(x-2) - 3 > 0, puis on met au même dénominateur : (-2x+7)/(x-2) > 0. Ensuite, on applique la méthode du tableau de signes.

Comment factoriser une expression du second degré pour résoudre une inéquation produit ?

Pour factoriser un trinôme du second degré ax² + bx + c, on calcule le discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, les racines sont x1 = (-b - √Δ)/(2a) et x2 = (-b + √Δ)/(2a), et l'expression se factorise en a(x - x1)(x - x2). Si Δ = 0, il y a une racine double et l'expression est a(x - x0)². Si Δ < 0, pas de factorisation réelle. Ensuite, on étudie le signe comme pour un produit.

Inéquation produit et quotient : méthode simple et exemples

Tu es en classe de seconde ou de première et tu dois résoudre une inéquation produit ou une inéquation quotient ? Pas de panique ! Avec une méthode claire et quelques exemples, tu vas voir que c'est plus simple qu'il n'y paraît. Dans cet article, on va apprendre à résoudre ces inéquations étape par étape, en utilisant le fameux tableau de signes. On va aussi passer en revue les erreurs classiques à éviter pour que tu sois serein le jour du contrôle. C'est parti !

Qu'est-ce qu'une inéquation produit ?

Une inéquation produit est une inéquation qui se présente sous la forme d'un produit de deux expressions, par exemple : (ax + b)(cx + d) ≤ 0 ou (2x - 1)(x + 3) > 0. Le but est de trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inéquation vraie.

Pourquoi c'est important ? Parce que ce type d'inéquation apparaît souvent dans l'étude du signe d'une fonction, et c'est une compétence exigée au lycée. La bonne nouvelle : il existe une méthode systématique pour les résoudre, et elle repose sur une règle simple : le signe d'un produit est déterminé par le signe de chaque facteur.

La méthode en 4 étapes

Voici la méthode que tu dois appliquer pour résoudre une inéquation produit ou quotient :

Réécrire l'inéquation pour avoir 0 d'un côté (si ce n'est pas déjà le cas).
Factoriser si nécessaire pour obtenir un produit ou un quotient de facteurs du premier degré (de la forme ax + b).
Étudier le signe de chaque facteur et construire un tableau de signes.
Lire l'intervalle solution selon le signe demandé (positif, négatif, etc.).

Cette méthode fonctionne pour les inéquations produit et pour les inéquations quotient, avec une petite précaution supplémentaire pour ces dernières : le dénominateur ne doit jamais s'annuler.

Résoudre une inéquation produit : exemple détaillé

Prenons un exemple classique : résoudre (2x - 1)(x + 3) > 0.

Étape 1 : L'inéquation est déjà sous la forme produit > 0, donc on n'a rien à changer.

Étape 2 : On cherche pour quelles valeurs de x chaque facteur s'annule :

2x - 1 = 0 → x = 1/2 = 0,5
x + 3 = 0 → x = -3

Étape 3 : On construit le tableau de signes. Pour chaque facteur, on détermine son signe selon les intervalles délimités par ces valeurs.

Pour 2x - 1 : c'est une fonction affine avec coefficient directeur positif (2 > 0), donc elle est négative avant 0,5 et positive après.

Pour x + 3 : coefficient directeur positif aussi, donc négative avant -3 et positive après.

On combine les signes dans un tableau :

Tableau de signes :

Intervalle (-∞ ; -3) : (2x - 1) négatif, (x + 3) négatif → produit positif
Intervalle (-3 ; 0,5) : (2x - 1) négatif, (x + 3) positif → produit négatif
Intervalle (0,5 ; +∞) : (2x - 1) positif, (x + 3) positif → produit positif

Étape 4 : On veut (2x - 1)(x + 3) > 0, donc on garde les intervalles où le produit est strictement positif. Ici, ce sont (-∞ ; -3) et (0,5 ; +∞). Les bornes -3 et 0,5 sont exclues car l'inégalité est stricte (> 0).

Solution : S = (-∞ ; -3) ∪ (0,5 ; +∞)

Vérification : Prenons x = -4 : (2×(-4) - 1)(-4 + 3) = (-8 - 1)(-1) = (-9)(-1) = 9 > 0, c'est bon. Prenons x = 0 : (0 - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3 < 0, donc 0 ne fait pas partie de la solution, ce qui est cohérent avec notre intervalle.

Résoudre une inéquation quotient : exemple détaillé

Maintenant, passons à une inéquation quotient. Par exemple : (x + 2) / (x - 1) ≤ 0.

Étape 1 : On a déjà 0 d'un côté, donc on garde l'expression.

Étape 2 : On identifie les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur :

Numérateur : x + 2 = 0 → x = -2
Dénominateur : x - 1 = 0 → x = 1 (valeur interdite !)

Étape 3 : On construit le tableau de signes en incluant la valeur interdite (1) avec une double barre dans le tableau.

Signe de x + 2 : négatif avant -2, positif après.

Signe de x - 1 : négatif avant 1, positif après.

Tableau :

(-∞ ; -2) : numérateur négatif, dénominateur négatif → quotient positif
(-2 ; 1) : numérateur positif, dénominateur négatif → quotient négatif
(1 ; +∞) : numérateur positif, dénominateur positif → quotient positif

Étape 4 : On veut ≤ 0, donc on prend l'intervalle où le quotient est négatif : (-2 ; 1). On inclut -2 car l'inégalité est large (≤), mais on exclut 1 car c'est une valeur interdite (le quotient n'existe pas).

Solution : S = [-2 ; 1[

Vérification : Prenons x = 0 : (0 + 2)/(0 - 1) = 2/(-1) = -2 ≤ 0, c'est bon. Prenons x = 2 : (2 + 2)/(2 - 1) = 4/1 = 4 > 0, donc 2 n'est pas solution, cohérent.

Erreurs fréquentes à éviter

Voici les pièges classiques que beaucoup d'élèves rencontrent :

Oublier la valeur interdite dans une inéquation quotient. Toujours exclure les valeurs qui annulent le dénominateur, même si l'inégalité est large.
Multiplier par une expression qui peut être négative sans changer le sens de l'inégalité. Par exemple, multiplier par x - 1 sans connaître son signe est interdit. C'est pour ça qu'on utilise le tableau de signes.
Confondre les bornes ouvertes et fermées : si l'inégalité est stricte (< ou >), les bornes sont exclues ; si elle est large (≤ ou ≥), les bornes où le facteur s'annule sont incluses (sauf valeurs interdites).
Oublier de factoriser avant d'étudier le signe. Par exemple, x² - 4 doit être factorisé en (x - 2)(x + 2) pour être traité comme un produit.

Pour t'entraîner, tu peux consulter notre page sur les exercices d'équations et voir les différents types d'équations. Si tu es en terminale et que tu révises pour le bac, jette un œil à notre section lycée.

Cas particuliers : inéquation avec un quotient et un second membre non nul

Parfois, l'inéquation n'est pas directement sous forme d'un quotient égal à 0. Par exemple : (x + 1) / (x - 2) > 3. Dans ce cas, il faut tout ramener à gauche :

(x + 1) / (x - 2) - 3 > 0

Puis on met au même dénominateur :

((x + 1) - 3(x - 2)) / (x - 2) > 0

Soit (x + 1 - 3x + 6) / (x - 2) > 0 → (-2x + 7) / (x - 2) > 0

Maintenant, on étudie le signe de -2x + 7 et de x - 2. Le zéro du numérateur est x = 7/2 = 3,5, celui du dénominateur est x = 2 (valeur interdite). On fait le tableau de signes :

(-∞ ; 2) : numérateur positif (car -2x+7 > 0 pour x < 3,5), dénominateur négatif → quotient négatif
(2 ; 3,5) : numérateur positif, dénominateur positif → quotient positif
(3,5 ; +∞) : numérateur négatif, dénominateur positif → quotient négatif

On veut > 0, donc la solution est (2 ; 3,5). Attention, 2 est exclu, 3,5 aussi car l'inégalité est stricte.

Vérifions avec x = 3 : (3 + 1)/(3 - 2) = 4/1 = 4 > 3, c'est bon.

Conclusion

Résoudre une inéquation produit ou une inéquation quotient n'est pas sorcier si tu suis la méthode du tableau de signes. N'oublie jamais : factoriser, trouver les valeurs qui annulent chaque facteur, construire le tableau, et lire la solution. Pour les quotients, attention à la valeur interdite. Avec de l'entraînement, tu deviendras rapide et précis. Et si tu veux réviser d'autres notions, explore notre site AlloEquations. Tu peux aussi consulter AlloBrevêt pour le brevet ou AlloBac pour le bac.

Continue comme ça, tu vas y arriver !