Tu as un système de deux équations à deux inconnues et tu ne sais pas par où commencer ? La méthode par substitution est l'une des techniques les plus simples et les plus puissantes pour venir à bout de ce type de problème. Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à remplacer cette expression dans la seconde équation. Résultat : une équation à une seule inconnue, que tu sais déjà résoudre !
Dans cet article, on va voir ensemble, étape par étape, comment appliquer la résolution par substitution sur un système concret. On verra aussi les erreurs fréquentes et quelques astuces pour aller plus vite. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système de deux équations à deux inconnues se présente souvent sous cette forme :
{ a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂
Les nombres a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ sont des constantes connues. Les inconnues sont x et y. Résoudre le système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps.
Graphiquement, chaque équation représente une droite. Le couple solution correspond au point d'intersection de ces deux droites. Mais rassure-toi : pas besoin de tracer pour résoudre ! La méthode par substitution est purement algébrique.
Pour revoir les bases des équations, tu peux consulter notre page sur les différents types d'équations.
La méthode par substitution étape par étape
Voici la démarche à suivre, valable pour n'importe quel système linéaire. On la décompose en 4 étapes simples.
Étape 1 : isoler une inconnue dans l'une des équations
Choisis l'équation la plus simple et exprime une inconnue (x ou y) en fonction de l'autre. Par exemple, si tu as x + 2y = 5, tu peux écrire x = 5 - 2y.
Astuce : choisis l'inconnue qui a un coefficient 1 ou -1, cela évite les fractions.
Étape 2 : remplacer (substituer) dans la seconde équation
Dans la deuxième équation, remplace l'inconnue par l'expression trouvée. Tu obtiens alors une équation à une seule inconnue.
Étape 3 : résoudre cette équation
Résous l'équation obtenue pour trouver la valeur d'une inconnue. Utilise les règles de transposition : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Étape 4 : trouver la seconde inconnue et vérifier
Remplace la valeur trouvée dans l'expression de l'étape 1 pour obtenir la seconde inconnue. Écris le couple solution (x ; y). Enfin, vérifie que ce couple satisfait bien les deux équations de départ.
Pour t'entraîner sur d'autres méthodes, n'hésite pas à visiter notre page méthodes de résolution.
Exemple résolu : un système simple
Prenons le système suivant :
{ 2x + y = 7 (1)
{ x - y = 2 (2)
Étape 1 : Dans l'équation (1), isolons y. On a : y = 7 - 2x.
Étape 2 : Remplaçons y par 7 - 2x dans l'équation (2) :
x - (7 - 2x) = 2.
Étape 3 : Résolvons cette équation :
x - 7 + 2x = 2
3x - 7 = 2
3x = 9
x = 3.
Étape 4 : Calculons y en remplaçant x par 3 dans y = 7 - 2x :
y = 7 - 2×3 = 7 - 6 = 1.
Le couple solution est donc (3 ; 1).
Vérification :
Dans (1) : 2×3 + 1 = 6 + 1 = 7. Correct.
Dans (2) : 3 - 1 = 2. Correct.
Parfait, le couple (3 ; 1) est bien la solution du système.
Un exemple un peu plus corsé (niveau lycée)
Soit le système :
{ 3x + 2y = 12 (1)
{ 5x - 3y = 1 (2)
Étape 1 : Isolons y dans (1) :
2y = 12 - 3x
y = (12 - 3x)/2 = 6 - 1,5x.
Étape 2 : Substituons dans (2) :
5x - 3(6 - 1,5x) = 1.
Étape 3 : Développons et résolvons :
5x - 18 + 4,5x = 1
9,5x - 18 = 1
9,5x = 19
x = 19 / 9,5 = 2.
Étape 4 : Calculons y :
y = 6 - 1,5×2 = 6 - 3 = 3.
Solution : (2 ; 3).
Vérification :
(1) : 3×2 + 2×3 = 6 + 6 = 12. OK.
(2) : 5×2 - 3×3 = 10 - 9 = 1. OK.
Si tu veux t'entraîner sur des exercices similaires, direction notre page exercices corrigés.
Erreurs fréquentes et conseils de méthode
Voici les pièges dans lesquels les élèves tombent le plus souvent :
- Oublier de distribuer le signe moins : quand tu substitutes une expression entre parenthèses précédée d'un signe -, pense à changer tous les signes à l'intérieur. Exemple : - (2x - 3) = -2x + 3.
- Ne pas vérifier la solution : c'est l'étape la plus importante pour éviter les erreurs de calcul. Prends toujours 30 secondes pour remplacer x et y dans les deux équations initiales.
- Choisir une inconnue avec un coefficient compliqué : privilégie celle qui a un coefficient 1 ou -1 pour éviter les fractions. Sinon, la méthode par combinaison peut être plus rapide.
- Confondre substitution et combinaison : la substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, tandis que la combinaison ajoute ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue. Les deux sont valables, mais ne les mélange pas dans un même calcul.
Pour réviser efficacement, entraîne-toi régulièrement sur des petits systèmes, et n'hésite pas à réécrire chaque étape. Plus tu pratiques, plus cela deviendra automatique.
Si tu prépares le brevet, tu peux aussi consulter AlloBrevet pour des fiches de révision. Et pour le bac, AlloBac propose des exercices plus avancés.
Conclusion
La méthode par substitution est un outil indispensable pour résoudre les systèmes d'équations. Elle te permet de transformer un problème à deux inconnues en une simple équation à une inconnue. Avec un peu de pratique, tu la maîtriseras sur le bout des doigts. Alors, n'attends plus : prends un papier, un crayon, et lance-toi !
Et si tu veux aller plus loin, explore nos autres méthodes de résolution pour devenir imbattable en algèbre.