Pourquoi les inéquations du second degré sont importantes ?
Les inéquations du second degré sont un chapitre clé en classe de première. Elles te permettent de résoudre des problèmes où il faut trouver les valeurs de x qui rendent une expression positive ou négative. Par exemple, étudier le profit d'une entreprise ou la trajectoire d'un projectile. Maîtriser cette notion te sera utile pour le bac et pour la suite.
Rappel : qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?
Une inéquation du second degré s'écrit sous la forme : ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥ 0, ≤ 0), avec a ≠ 0. Le but est de trouver l'ensemble des x qui vérifient l'inégalité. Pour cela, il faut étudier le signe du trinôme ax² + bx + c.
Méthode de résolution étape par étape
Voici les étapes à suivre pour résoudre une inéquation du second degré :
- Étape 1 : Réécrire l'inéquation pour avoir 0 à droite (par exemple ax² + bx + c > 0).
- Étape 2 : Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac.
- Étape 3 : Déterminer les racines du trinôme (si elles existent) :
Si Δ > 0 : deux racines x₁ et x₂ = (-b ± √Δ) / (2a).
Si Δ = 0 : une racine double x₀ = -b/(2a).
Si Δ < 0 : pas de racine réelle. - Étape 4 : Appliquer la règle du signe du trinôme :
- Si a > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
- Si a < 0, c'est l'inverse. - Étape 5 : Construire un tableau de signes et lire l'ensemble solution selon l'inégalité.
Exemple résolu en détail
Résolvons l'inéquation : 2x² - 3x - 2 > 0.
- Étape 1 : L'inéquation est déjà de la forme ax² + bx + c > 0.
- Étape 2 : Calcul du discriminant : Δ = (-3)² - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25. Δ > 0.
- Étape 3 : Racines : x₁ = (3 - 5) / 4 = -0,5 et x₂ = (3 + 5) / 4 = 2.
- Étape 4 : a = 2 > 0, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre.
- Étape 5 : Tableau de signes :
Sur ]-∞ ; -0,5[ : positif
Sur ]-0,5 ; 2[ : négatif
Sur ]2 ; +∞[ : positif
Comme on cherche > 0, l'ensemble solution est ]-∞ ; -0,5[ ∪ ]2 ; +∞[.
Vérification : Pour x = 3, 2×9 - 9 - 2 = 7 > 0, ok. Pour x = 0, 0 - 0 - 2 = -2 < 0, ok.
Erreurs fréquentes et conseils de révision
Erreur 1 : Oublier le signe de a dans la règle. Astuce : Note le signe de a dès le début.
Erreur 2 : Se tromper dans le calcul du discriminant. Astuce : Fais les calculs étape par étape et vérifie avec une calculatrice.
Erreur 3 : Oublier les bornes ouvertes ou fermées selon l'inégalité. Astuce : Relis bien l'énoncé (strict ou large).
Pour t'entraîner, consulte notre page d'exercices et la section lycée. Si tu as besoin de revoir les bases, visite les types d'équations.
Conclusion
Les inéquations du second degré deviennent faciles avec de la pratique. Suis la méthode, vérifie tes calculs et n'hésite pas à refaire des exemples. Tu verras, le signe du trinôme n'aura plus de secret pour toi !