Tu es en 3e et tu prépares le Brevet, ou au lycée et tu révises pour le Bac ? Les systèmes d'équations tombent très souvent à l'examen. Bonne nouvelle : avec deux méthodes bien maîtrisées, tu peux résoudre un système de deux équations à deux inconnues sans stress. Dans cet article, on te rappelle la définition, on détaille la méthode par substitution et celle par combinaison, on résout un exemple complet, et on liste les erreurs à éviter. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui doivent être vraies en même temps. Au collège et au lycée, on étudie surtout des systèmes de deux équations à deux inconnues, souvent notées x et y.
Exemple :
2x + y = 7
3x − y = 8
Résoudre ce système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations simultanément. Ici, la solution est le couple (3 ; 1) car :
2×3 + 1 = 7 ✔
3×3 − 1 = 8 ✔
Un couple solution s'écrit toujours entre parenthèses, dans l'ordre (x ; y). Attention : une équation seule a une infinité de solutions ; c'est le système qui impose un couple unique (dans le cas général).
Vocabulaire utile
- Inconnues : les lettres x et y que l'on cherche.
- Coefficients : les nombres devant les inconnues (2, 1, 3, −1 dans l'exemple).
- Solution : le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations.
- Système compatible : il admet au moins une solution. Sinon, il est incompatible.
Méthode 1 : résoudre un système par substitution
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à remplacer dans la seconde équation. C'est la méthode la plus intuitive quand un coefficient vaut 1 ou −1.
Étapes pas à pas
- Isole une inconnue dans l'une des équations (choisis la plus simple).
- Remplace cette inconnue dans l'autre équation : tu obtiens une équation à une seule inconnue.
- Résous cette équation pour trouver la première inconnue.
- Remplace la valeur trouvée dans l'expression isolée pour obtenir la seconde inconnue.
- Vérifie que le couple trouvé satisfait les deux équations de départ.
Exemple résolu par substitution
Système :
x + 2y = 8 (1)
3x − y = 3 (2)
Étape 1 : Dans (1), on isole x :
x = 8 − 2y.
Étape 2 : On remplace x par (8 − 2y) dans (2) :
3(8 − 2y) − y = 3.
Étape 3 : On développe et on résout :
24 − 6y − y = 3
24 − 7y = 3
−7y = 3 − 24
−7y = −21
y = 3.
Étape 4 : On remplace y par 3 dans x = 8 − 2y :
x = 8 − 2×3 = 8 − 6 = 2.
Vérification :
(1) : 2 + 2×3 = 2 + 6 = 8 ✔
(2) : 3×2 − 3 = 6 − 3 = 3 ✔
La solution est le couple (2 ; 3).
Méthode 2 : résoudre un système par combinaison (ou élimination)
La combinaison consiste à additionner ou soustraire les deux équations (après multiplication éventuelle) pour éliminer une inconnue. C'est très efficace quand aucun coefficient ne vaut 1.
Étapes pas à pas
- Multiplie une ou les deux équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés.
- Additionne membre à membre les deux équations : une inconnue disparaît.
- Résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Reporte la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue.
- Vérifie.
Exemple résolu par combinaison
Système :
2x + 3y = 12 (1)
5x − 3y = 9 (2)
Étape 1 : Les coefficients de y sont déjà opposés (+3 et −3). Pas besoin de multiplier.
Étape 2 : On additionne membre à membre :
(2x + 3y) + (5x − 3y) = 12 + 9
7x = 21.
Étape 3 : On résout : x = 3.
Étape 4 : On remplace x par 3 dans (1) :
2×3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 6
y = 2.
Vérification :
(1) : 2×3 + 3×2 = 6 + 6 = 12 ✔
(2) : 5×3 − 3×2 = 15 − 6 = 9 ✔
La solution est le couple (3 ; 2).
Quand utiliser quelle méthode ?
Il n'y a pas de règle absolue, mais voici un guide pratique :
- Si un coefficient est 1 ou −1, la substitution est souvent plus rapide.
- Si les coefficients sont « quelconques », la combinaison est généralement plus efficace.
- Au lycée, tu verras aussi la méthode par déterminant et l'interprétation graphique (droites sécantes, parallèles ou confondues).
Pour t'entraîner sur d'autres types d'équations, consulte notre page types d'équations. Et si tu veux des exercices corrigés, direction exercices.
Exemple complet type Brevet
Voici un énoncé classique de Brevet :
« Résoudre le système suivant :
3x + 2y = 16
2x − y = 6 »
Résolution par combinaison :
On multiplie la deuxième équation par 2 pour aligner les coefficients de y :
3x + 2y = 16
4x − 2y = 12
On additionne :
7x = 28 donc x = 4.
On remplace x par 4 dans la deuxième équation initiale :
2×4 − y = 6
8 − y = 6
y = 2.
Vérification :
3×4 + 2×2 = 12 + 4 = 16 ✔
2×4 − 2 = 8 − 2 = 6 ✔
Solution : (4 ; 2).
Erreurs fréquentes et conseils de révision
- Oublier de vérifier : c'est le réflexe qui sauve des points. Remplace toujours le couple trouvé dans les deux équations de départ.
- Erreur de signe : quand tu soustrais une équation, pense à distribuer le signe « − » à tous les termes.
- Mal isoler une inconnue : vérifie que tu as bien divisé tous les termes par le coefficient.
- Confondre x et y dans la solution : écris toujours le couple dans l'ordre (x ; y).
- Ne pas conclure : termine par une phrase claire : « Le couple solution est (… ; …). »
Pour approfondir les méthodes, visite notre page méthodes. Si tu prépares le Brevet, jette un œil à AlloBrevet ; pour le Bac, AlloBac est ton allié.
Conclusion
Les systèmes d'équations ne sont pas si terribles : avec la substitution ou la combinaison, tu as deux outils puissants pour résoudre un système pas à pas. Entraîne-toi régulièrement, vérifie toujours tes solutions, et n'hésite pas à revoir les bases sur types d'équations. Tu verras, le jour de l'examen, ça deviendra un automatisme. Allez, à toi de jouer !