Comment résoudre une inéquation du second degré ?

Pour résoudre une inéquation du second degré comme ax² + bx + c > 0, il faut d'abord calculer le discriminant Δ = b² - 4ac, trouver les racines si Δ ≥ 0, puis dresser le tableau de signes du trinôme. Enfin, on lit les intervalles où le signe correspond à l'inégalité demandée.

Qu'est-ce que le signe du trinôme ?

Le signe du trinôme ax² + bx + c indique si l'expression est positive, négative ou nulle selon les valeurs de x. La règle est : si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. Si Δ = 0, il est du signe de a partout sauf à la racine double. Si Δ < 0, il est toujours du signe de a.

Comment faire un tableau de signes pour une inéquation du second degré ?

On place les racines (si elles existent) sur la ligne des x, puis on indique le signe du trinôme dans chaque intervalle : positif ou négatif selon la règle du signe. Pour une inéquation > 0, on retient les intervalles où le signe est + ; pour < 0, ceux où le signe est -.

Que faire si le discriminant est négatif dans une inéquation ?

Si Δ 0, alors ax² + bx + c > 0 pour tout x réel. Si l'inéquation est > 0, la solution est ℝ ; si elle est < 0, il n'y a pas de solution.

Quelle différence entre une équation et une inéquation du second degré ?

Une équation du second degré cherche les valeurs de x qui rendent l'expression égale à 0 (solutions ponctuelles). Une inéquation cherche les intervalles de x qui rendent l'expression positive ou négative. La résolution de l'équation est souvent une étape pour résoudre l'inéquation.

Comment résoudre une inéquation produit comme (x - 2)(x + 3) > 0 ?

C'est une inéquation du second degré développée. On étudie le signe de chaque facteur (x - 2) et (x + 3) dans un tableau de signes, puis on applique la règle des signes pour un produit : + × + = +, + × - = -, etc. Les racines sont 2 et -3, donc le produit est positif pour x 2.

Inéquation second degré : la méthode complète (Brevet & Bac)

Q: Comment faire un tableau de signes pour une inéquation du second degré ?

On place les racines (si elles existent) sur la ligne des x, puis on indique le signe du trinôme dans chaque intervalle : positif ou négatif selon la règle du signe. Pour une inéquation > 0, on retient les intervalles où le signe est + ; pour < 0, ceux où le signe est -.

Q: Que faire si le discriminant est négatif dans une inéquation ?

Si Δ 0, alors ax² + bx + c > 0 pour tout x réel. Si l'inéquation est > 0, la solution est ℝ ; si elle est < 0, il n'y a pas de solution.

Q: Quelle différence entre une équation et une inéquation du second degré ?

Une équation du second degré cherche les valeurs de x qui rendent l'expression égale à 0 (solutions ponctuelles). Une inéquation cherche les intervalles de x qui rendent l'expression positive ou négative. La résolution de l'équation est souvent une étape pour résoudre l'inéquation.

Les inéquations du second degré, c'est un peu le passage obligé au lycée, et même au collège quand on commence à manipuler les expressions avec des carrés. Pas de panique : avec une méthode claire et quelques astuces, tu vas voir que c'est finalement très logique. Dans cet article, on va apprendre à résoudre une inéquation du type ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥ 0, ≤ 0), et on s'appuiera sur le fameux signe du trinôme. Prêt ? C'est parti !

Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?

Une inéquation du second degré, c'est une inégalité qui contient un polynôme de degré 2, c'est-à-dire une expression avec un terme en x². Par exemple :

2x² - 3x + 1 > 0
-x² + 4x ≤ 0
3x² + 2x - 5 < 0

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie. La solution est souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles. Par exemple, pour x² - 4 ≥ 0, les solutions sont x ≤ -2 ou x ≥ 2, c'est-à-dire l'ensemble ]-∞ ; -2] ∪ [2 ; +∞[.

Pour résoudre ces inéquations, on utilise le signe du trinôme, c'est-à-dire le signe de l'expression ax² + bx + c selon les valeurs de x. Ce signe dépend du discriminant Δ et de la position de x par rapport aux racines (si elles existent).

Les outils indispensables : discriminant et racines

Avant de parler du signe, il faut savoir résoudre l'équation associée ax² + bx + c = 0. Pour cela, on calcule le discriminant :

Δ = b² - 4ac

Ensuite, selon le signe de Δ :

Si Δ > 0 : l'équation a deux solutions réelles distinctes :

x₁ = (-b - √Δ) / 2a et x₂ = (-b + √Δ) / 2a

Si Δ = 0 : l'équation a une solution double :

x₀ = -b / 2a

Si Δ < 0 : l'équation n'a pas de solution réelle.

Ces racines sont les endroits où le trinôme s'annule, donc où il change de signe (ou pas, si Δ = 0). C'est la clé pour construire le tableau de signes.

Le signe du trinôme : la règle à connaître

Voici la règle fondamentale, à retenir par cœur :

Si Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines (c'est-à-dire pour x < x₁ ou x > x₂) et du signe contraire à l'intérieur (x₁ < x < x₂).
Si Δ = 0 : le trinôme est du signe de a pour tout x ≠ x₀, et il s'annule en x₀.
Si Δ < 0 : le trinôme est du signe de a pour tout x réel (il ne s'annule jamais).

Cette règle vient du fait que le trinôme peut s'écrire sous forme factorisée : a(x - x₁)(x - x₂) quand Δ > 0, ou a(x - x₀)² quand Δ = 0. Le signe d'un produit se déduit des signes de chaque facteur.

Méthode pour résoudre une inéquation du second degré

Voici les étapes à suivre, dans l'ordre :

Mettre l'inéquation sous la forme ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥, ≤). Si ce n'est pas le cas, déplace tous les termes d'un côté pour avoir 0 de l'autre côté.
Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac.
Chercher les racines si Δ ≥ 0 (avec les formules).
Construire le tableau de signes du trinôme en appliquant la règle du signe.
Lire les solutions sur le tableau : on retient les intervalles où le signe correspond à l'inégalité demandée.

Attention : si le coefficient a est négatif, la parabole est tournée vers le bas, mais la règle du signe reste valable : on applique la règle avec le signe de a.

Exemple résolu : résoudre 2x² - 3x - 2 > 0

On va suivre la méthode pas à pas.

Étape 1 : L'inéquation est déjà sous la forme ax² + bx + c > 0. Ici, a = 2, b = -3, c = -2.

Étape 2 : Calculons Δ :

Δ = (-3)² - 4 × 2 × (-2) = 9 + 16 = 25. Δ > 0, donc deux racines.

Étape 3 : Calculons les racines :

x₁ = (-(-3) - √25) / (2 × 2) = (3 - 5) / 4 = -2/4 = -0,5

x₂ = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2

Étape 4 : Le signe du trinôme : a = 2 > 0, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines.

Tableau de signes :

Pour x < -0,5 : positif
Pour -0,5 < x < 2 : négatif
Pour x > 2 : positif

Étape 5 : On veut 2x² - 3x - 2 > 0, donc on prend les intervalles où le signe est positif : ]-∞ ; -0,5[ ∪ ]2 ; +∞[.

Vérification : Prenons x = 3 (qui est dans l'intervalle) : 2×9 - 3×3 - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0, c'est bon. Prenons x = 0 (entre les racines) : 0 - 0 - 2 = -2 < 0, c'est bien négatif. La solution est correcte.

Cas particuliers : quand Δ = 0 ou Δ < 0

Il faut savoir adapter la méthode.

Cas Δ = 0

L'équation a une racine double x₀ = -b / 2a. Le trinôme est du signe de a partout, sauf en x₀ où il s'annule. Par exemple, pour x² - 4x + 4 = (x - 2)², on a Δ = 0, a = 1 > 0. Donc x² - 4x + 4 ≥ 0 est toujours vrai (s' annule en 2), et x² - 4x + 4 > 0 est vrai pour tout x ≠ 2.

Cas Δ < 0

Pas de racine, le trinôme ne change jamais de signe : il est toujours du signe de a. Par exemple, x² + x + 1 a pour discriminant Δ = 1 - 4 = -3 < 0, a = 1 > 0, donc x² + x + 1 > 0 pour tout x réel. L'ensemble solution est ℝ.

Erreurs fréquentes et conseils

Voici les pièges classiques à éviter :

Oublier de tout mettre d'un côté : si tu as 2x² + 3 > 5x, tu dois d'abord écrire 2x² - 5x + 3 > 0, sinon tu ne peux pas appliquer la règle du signe.
Confondre le signe de a et le sens de l'inégalité : la règle du signe dépend de a, mais l'inégalité peut être > ou <. Lis bien le tableau.
Oublier les racines quand Δ = 0 : dans ce cas, le trinôme s'annule en un point, donc l'inégalité au sens strict exclut ce point, alors que l'inégalité large l'inclut.
Ne pas vérifier avec un test : après avoir trouvé les intervalles, prends une valeur dans chaque intervalle pour vérifier que ça marche.

Pour t'entraîner, n'hésite pas à consulter nos exercices d'équations et à revoir la méthode générale sur les différents types d'équations.

Et pour le Brevet et le Bac ?

Au Brevet, tu peux rencontrer des inéquations du premier degré, mais parfois on te demande de résoudre une inéquation produit comme (x - 2)(x + 3) > 0, qui est en fait une inéquation du second degré développée. La méthode du tableau de signes est alors indispensable. Au Bac, les inéquations du second degré apparaissent dans l'étude de fonctions, les probabilités, les suites, etc. Maîtriser le signe du trinôme, c'est un atout énorme.

Si tu prépares le Brevet, jette un œil à AlloBrevET pour des révisions ciblées. Et pour le Bac, AlloBac t'accompagne avec des ressources adaptées.

Exercices pour t'entraîner

Voici quelques inéquations à résoudre pour t'entraîner :

x² - 5x + 6 > 0 (indice : Δ = 1, racines 2 et 3)
-x² + 4x - 4 ≥ 0 (indice : Δ = 0)
3x² + 2x + 1 < 0 (indice : Δ = -8)

Pour vérifier tes réponses, utilise notre section lycée qui propose des corrections détaillées.

Voilà, tu as maintenant toutes les clés pour résoudre une inéquation du second degré. La méthode est toujours la même : discriminant, racines, tableau de signes. Avec un peu de pratique, ça deviendra un réflexe. Courage, tu vas y arriver !