Équations Trigonométriques - Exercices
Terminale
Équations trigonométriques
Cercle trigonométrique et solutions
cos(x) = a, sin(x) = a, tan(x) = aDéfinition
Les équations trigonométriques ont une infinité de solutions (périodiques). On utilise le cercle trigonométrique pour les trouver.
Formules de résolution
1
cos(x) = a
x = ± arccos(a) + 2kπ, k ∈ ℤ
2
sin(x) = a
x = arcsin(a) + 2kπ ou x = π - arcsin(a) + 2kπ
3
tan(x) = a
x = arctan(a) + kπ, k ∈ ℤ
Solutions sur [0, 2π] puis généraliser
Vérifier que |a| ≤ 1 pour cos et sin. tan(x) est défini sauf si x = π/2 + kπ.
Exemples résolus
arccos(1/2) = π/3
Sur [0, 2π] : x = π/3 ou x = -π/3 + 2π = 5π/3
Solution générale : x = ±π/3 + 2kπ
Solution
x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ
Vérification
cos(π/3) = 1/2 ✓
Exercices
facile
cos(x) = 0
x =
facile
sin(x) = 1
x =
moyen
cos(x) = -1/2
x =
moyen
tan(x) = 1
x =
Astuces
- Toujours dessiner le cercle trigonométrique pour visualiser.
- Les solutions sont périodiques : ne pas oublier + 2kπ.
- Pour tan, la période est π (pas 2π).
Erreurs fréquentes
- Oublier une famille de solutions
cos(x) = 1/2 a deux familles - Confondre périodes de sin/cos et tan
tan a une période de π
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