Tu dois résoudre un système d'équations et tu ne sais pas quelle méthode utiliser ? Substitution ou combinaison ? Pas de panique ! Dans cet article, on va voir ensemble comment choisir la méthode la plus adaptée selon le système, avec des exemples concrets. À la fin, tu sauras exactement quelle méthode système d'équations utiliser.
Rappel : qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations est un ensemble de deux équations (ou plus) avec les mêmes inconnues. Par exemple :
2x + 3y = 7
x - y = 1
Résoudre le système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps. Il existe deux méthodes principales : la substitution et la combinaison (ou addition).
La méthode par substitution
Quand l'utiliser ?
La substitution est très pratique quand une des inconnues a un coefficient 1 ou -1. Par exemple, si tu as x - y = 1, tu peux facilement exprimer x en fonction de y (x = y + 1).
Comment faire ?
- Étape 1 : Exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation.
- Étape 2 : Remplace cette expression dans l'autre équation.
- Étape 3 : Résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Étape 4 : Calcule la deuxième inconnue en utilisant l'expression de l'étape 1.
- Étape 5 : Vérifie que le couple trouvé vérifie les deux équations.
Exemple résolu
Résolvons le système :
2x + 3y = 7 (1)
x - y = 1 (2)
Dans l'équation (2), x a pour coefficient 1, donc on exprime x : x = y + 1.
On remplace dans (1) :
2(y + 1) + 3y = 7
2y + 2 + 3y = 7
5y + 2 = 7
5y = 5
y = 1
Puis x = y + 1 = 1 + 1 = 2.
Vérification :
2×2 + 3×1 = 4 + 3 = 7 OK
2 - 1 = 1 OK
Le couple solution est (2 ; 1).
La méthode par combinaison (ou addition)
Quand l'utiliser ?
La combinaison est idéale quand les coefficients des inconnues sont déjà opposés ou faciles à rendre opposés. Par exemple, si tu as 2x + 3y = 7 et 2x - y = 1, tu peux soustraire les équations pour éliminer x.
Comment faire ?
- Étape 1 : Multiplie une ou les deux équations par un nombre pour obtenir des coefficients opposés pour une même inconnue.
- Étape 2 : Additionne ou soustrais les équations membre à membre pour éliminer cette inconnue.
- Étape 3 : Résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Étape 4 : Remplace la valeur trouvée dans l'une des équations originales pour trouver l'autre inconnue.
- Étape 5 : Vérifie.
Exemple résolu
Résolvons le système :
3x + 2y = 12 (A)
x - 2y = 4 (B)
On remarque que les coefficients de y sont +2 et -2 : ils sont opposés. On additionne (A) et (B) :
(3x + 2y) + (x - 2y) = 12 + 4
4x = 16
x = 4
On remplace x dans (B) : 4 - 2y = 4 → -2y = 0 → y = 0.
Vérification :
3×4 + 2×0 = 12 OK
4 - 2×0 = 4 OK
Le couple solution est (4 ; 0).
Comment choisir : substitution ou combinaison ?
Voici un petit guide pour t'aider à décider quelle méthode système d'équations utiliser :
- Si un coefficient est 1 ou -1 → la substitution est rapide.
- Si les coefficients d'une même inconnue sont déjà opposés → combinaison directe.
- Si les coefficients sont multiples l'un de l'autre (par exemple 2 et 4) → combinaison en multipliant une équation.
- Si les deux méthodes semblent équivalentes → choisis celle que tu maîtrises le mieux.
Pour t'entraîner, consulte nos exercices sur les systèmes. Tu peux aussi revoir les méthodes en détail ou télécharger une fiche mémo.
Erreurs fréquentes et conseils
- Oublier de vérifier : toujours tester le couple dans les deux équations.
- Erreur de signe : en combinaison, attention à la soustraction (distribue le signe moins).
- Substitution avec des fractions : si les coefficients ne sont pas 1, la substitution peut donner des fractions ; préfère la combinaison.
- Ne pas simplifier : réduis chaque équation avant de commencer.
Pour le Brevet, maîtrise les deux méthodes. Pour le Bac, la combinaison est souvent plus rapide. Si tu prépares le Brevet, jette un œil à AlloBrevET ; pour le Bac, AlloBac peut t'aider.
Conclusion
Tu sais maintenant comment choisir entre substitution et combinaison. L'essentiel est de t'entraîner régulièrement. Avec un peu de pratique, tu trouveras instinctivement la meilleure méthode. Continue comme ça et les systèmes n'auront plus de secrets pour toi !